El problema de Aquiles y la Tortuga

Aquiles

Zenón de Elea, discípulo de Parménides, es recordado sobre todo por sus paradojas que tratan de demostrar que el movimiento no existe, y especialmente por la paradoja de Aquiles y la tortuga, que afirma que sería imposible que Aquiles alcanzara a la tortuga en una carrera, siempre que le haya dado cierta ventaja de partida.

Sabemos que Aquiles corre más deprisa que la tortuga (si no, no podría alcanzarla y la paradoja no tendría sentido). Si le da ventaja, en el momento en que Aquiles empiece a correr, la tortuga estará ya a cierta distancia, en el punto A. Cuando Aquiles llegue al punto A, la tortuga habrá avanzado hasta el punto B. Cuando Aquiles llegue a B, la tortuga estará ya en C. Y así sucesivamente, hasta el infinito.

Aquiles tardará en alcanzar a la tortuga la suma de los tiempos que necesite para alcanzar los puntos A, B, C… El tiempo total será, por lo tanto, la suma de una serie infinita de números. El problema es que Zenón piensa que la suma de una serie infinita de números tiene que ser infinita, por lo que Aquiles jamás conseguirá alcanzar a la tortuga (esta es la conclusión de su razonamiento). Esto, sin embargo, no es cierto: existen numerosas series infinitas cuya suma es finita. Una de ellas es, precisamente, la que calcula el tiempo que Aquiles tardaría en alcanzar a la tortuga, según el razonamiento de Zenón.

Supongamos, por ejemplo, que Aquiles corre al doble de velocidad que la tortuga, y usemos como unidad de tiempo el que Aquiles necesita para alcanzar el punto A. Entonces la serie de tiempos del razonamiento de Zenón vale 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… cuya suma es 2. O sea, Aquiles alcanza a la tortuga en el doble de tiempo del que necesita para alcanzar el punto donde estaba la tortuga cuando él empezó a correr.

 

                                     Demostración
 ecuacion
La solución de esta ecuación de primer grado es x=2

Este razonamiento se puede generalizar. Si suponemos que Aquiles corre r veces más deprisa que la tortuga, donde r es cualquier número real mayor que 1 (porque sabemos que Aquiles debe correr más que la tortuga), el tiempo que tarda en conseguirlo, obtenido sumando la serie de Zenón, resulta ser igual a r/(r-1). O sea, si Aquiles corriera tres veces más deprisa que la tortuga, la alcanzaría en un tiempo 1,5 veces mayor que el que le cuesta llegar al punto A. Si sólo corriera un 10% más deprisa que la tortuga, le costaría 11 veces ese tiempo.

El problema de Aquiles y la tortuga choca demasiado con el sentido común para que nadie lo tomara en serio, pero durante más de dos milenios permaneció en el subconsciente de los filósofos y los matemáticos como un problema sin resolver, hasta que el desarrollo de la teoría de series numéricas en el siglo XIX permitió considerarlo cerrado. Con ello quedó palpablemente demostrado que la teoría de Zenón respecto a la inexistencia y la imposibilidad del movimiento se apoyaba en una hipótesis demostradamente falsa, por lo que dicha teoría cayó definitivamente por tierra.

Esto no ocurre siempre con las teorías filosóficas: a menudo es muy difícil echarlas abajo definitivamente, porque las premisas falsas en que se basan están muy bien ocultas y es muy difícil refutarlas. Pero el ejemplo de la teoría de Zenón debería avisarnos de que todas las teorías filosóficas no son iguales: algunas son demostradamente falsas; otras probablemente son falsas, aunque aún no se ha podido demostrar; y otras quizá sean ciertas, o al menos más ciertas que otras.

Escrito por:

Universidad Autónoma de Madrid

14 Comments

  1. Es un argumento muy sólido y preciso, me ayudó bastante en mi investigación, gracias

  2. Javier dice:

    Enhorabuena por la claridad de la explicación…

  3. Gonzalo dice:

    Cuando Aquiles esta alcanzado a la tortuga durante la carrera, tiende a infinito decimalmente la distancia que los separa dando la sensacion de nunca poder alcanzarla realmente.

    Analizemos brevemente :

    Mantenemos una informacion y un proceso de calculo que en el mismo momento de coincidencia de los elementos, nos obliga a seguir haciendo la mitad, y la mitad, y la mitad…. infinitamente.

    Y ese es el error. Debemos cambiar la informacion y saber cuanta distancia tiene que volver a recorrer Aquiles para alcanzar a la tortuga empezando de nuevo en el mismo punto, pero teniendo en cuenta que ahora tiene que dar toda la vuelta a la superficie donde se encuentran.

    La longitud nueva y completa que los separa.

    Ya que o bien consideramos la superficie de un planeta esferico o en un caso extremo, un universo hiperesferico volviendo siempre al mismo lugar.

    ¿ Porque en la realidad esto sucede instantaneamente ??

    ENTRELAZAMIENTO CUANTICO.

    Lo cual no se puede descubrir mediante el ejemplo escrito, estatico y sin capacidad de adaptacion.

    Se puede llevar a cabo en papel pero primero hay que definir el diametro de la esfera donde se lleva a cabo la carrera para que en los momentos de “conexion”, podamos aplicar el nuevo dato de longitud de separacion.

    Exactamente igual que funcionamos gracias al entrelazamiento cuantico del cual no somos conscientes y permite la observacion, distancias, volumenes y movimiento que experimentamos en nuestra vida de manera aparentemente continua.

    ¿A que distancia equivalente sucede la conexion en la fisica real?

    Longitud de Planck.

    • No veo que este comentario tenga mucho que ver con mi artículo. Para empezar, en ninguna parte se sugiere que la carrera tenga lugar en una superficie esférica ni en un universo hiperesférico. El cálculo realizado en mi artículo implica que la distancia recorrida por Aquiles para alcanzar a la tortuga es finita y pequeña (el doble de la distancia inicial que los separa), por lo que la geometría plana es una aproximación suficiente. En cuanto al entrelazamiento cuántico, no tiene nada que ver con el asunto.

  4. Gonzalo dice:

    Queda claro que el primer error siempre fue inventarnos un espacio inexistente fuera de las leyes de la fisica y de lo experimentable para poder desarrollar el concepto de la paradoja.

    Se debe imaginar una recta infinita de extremos inconexos lo cual no existe.

    Ya que como minimo te mueves en un planeta, o como bien dije, por los conocimientos actuales del universo en un caso limite tendrias que aceptar la hiperesfera.

    Lo que no sea esto es inventarse un universo que no tenemos ninguna prueba de que exista.Entiendo que cuando se desarrollo el problema todavia estaba el terraplanismo y no me sorprende, pero ahora…

    El entrelazamiento por supuesto tiene que ver, desde el mismo momento en el que somos observadores gracias entre otras cosas al entrelazamiento hay que tenerlo en cuenta.

    ¿Cual es la diferencia entre tu llevando a cabo la paradoja en la realidad, o tu escribiendo numeros en un papel?

    Que el papel depende de lo que escribas a mano, no hay ningun entrelazamiento natural en lo que estas queriendo representar, y si no pones tu los datos que necesitas y no te das cuenta, solo puedes bloquear la situacion.

    Ecuaciones de Dirac y entrelazamiento, independientemente de la distancia.

    ¿ Podriamos negar ademas que para cumplir la minima accion se tiene que conocer toda la informacion?

    Si no fuese asi estariamos violando la causalidad.

    Obviamente al ser empiricamente cierta la premisa a aceptar, la formulacion y demostracion respectiva son totalmente evidentes. Ya que se derivan los conceptos y calculos que se ajustan a medidas experimentales en innumerables problemas.

  5. Gonzalo dice:

    No pueden ser elucubraciones proponer un contexto empirico que si es demostrable.

    Einstein proponia observadores desplazandose a velocidad relativista y estos mismos teniendo la capacidad de observar fotones aislados moviendose.

    En un caso extremo este problema si se puede llevar a la practica real. ¿ algo me impide que en vez que sean dos corredores sean dos aviones dando la vuelta al globo, y uno siendo mas rapido que el otro?

    Cualquier logica que se presente es inexacta e inacabada sin aclarar si el recorrido es cerrado o abierto, ademas de perder la perspectiva interesante de porque eso solo pasa en el papel y no en la realidad.

    Cuando los 2 aviones se alcancen en el mismo punto, la formula empleada deberia continuar pero se necesita el dato nuevo ya que ahora debe dar toda la vuelta.

    Si esto es elucubracion.., se puede hacer cualquier dia.

    Llevamos +/- 2000 años en el mismo punto cayendo al infinito, sin nadie que diga,

    ” vale esto lo solucionamos despues teniendo en cuenta la siguiente parte, que no tienen porque pararse cuando se alcanzan, pueden continuar”

    Y por supuesto, no cambia lo que comentas en el articulo muy bien expuesto, pero la diferencia matematica total es abismal aceptando esta premisa empirica en lugar el contexto original indeterminado.

    Y en muchas mas cosas nos lleva lastrando este detalle durante +/-2000 años.

  6. Mica Bezona dice:

    Me parece que hay uno que necesita comprarse una vida.

    Muy buena la explicación de la paradoja filosófica.

    El resto es humo

  7. Jose Luis dice:

    El artículo me ha parecido muy interesante, pero quisiera introducir un matiz. La tesis que defiende Zenón, como bien dices, no es otra que la imposibilidad del movimiento o el cambio, tal y como lo defendió Parménides. La paradoja no es asimilable a la teoría, solo es un argumento en el que esta se apoya, y que procede por reductio ad absurdum (tratando de demostrar que defender el cambio lleva a un absurdo). Derribar la paradoja de Aquiles y la tortuga no es lo que invalida la negación del movimiento en Zenón y en Parménides; es la experiencia del cambio, por acumulación de evidencias. Sin embargo, lo importante de Parménides no es su defensa del ser como algo eterno e inmutable, sino el hecho de que inventó el “principio de no contradicción” a partir de la afirmación básica: “El ser es y el no ser, no es”, y la imposibilidad de conciliarlos ¬(A ^ ¬A).Algo similar se podría decir de las aportaciones de Zenón al estudio de las paradojas, por ejemplo.

    Lo que me deja un tanto perplejo es la afirmación del final:

    “Esto no ocurre siempre con las teorías filosóficas: a menudo es muy difícil echarlas abajo definitivamente, porque las premisas falsas en que se basan están muy bien ocultas y es muy difícil refutarlas. Pero el ejemplo de la teoría de Zenón debería avisarnos de que todas las teorías filosóficas no son iguales: algunas son demostradamente falsas; otras probablemente son falsas, aunque aún no se ha podido demostrar; y otras quizá sean ciertas, o al menos más ciertas que otras.”

    En efecto, todas las teorías filosóficas no son iguales: no es lo mismo una teoría del siglo V a.C. que una actual. En cualquier caso, creo que es mejor hablar de premisas y refutaciones de argumentos, que de teorías, sistemas, etc., que se apoyarían en aquellos. No obstante, creo que tal y como está planteado, parece que las teorías filosóficas fueran, en general, falsas en su mayoría, o algo a abatir. “Otras quizá sean ciertas”, dices, “o más ciertas que otras”, es decir, parcialmente ciertas. Creo que hay una connotación peyorativa aquí hacia la filosofía, y no sé si quizá (a lo mejor me equivoco), es porque se la compare con la pseudociencia.

    Algunas teorías o sistemas filosóficos son difíciles de refutar, sencillamente, porque la filosofía posee un enfoque que trasciende la acotación en campos científicos propia de las ciencias, ni trata de contrastar hipótesis mediante verificación o falsación experimental con la realidad. Eso no significa que la filosofía sea como la pseudociencia. La filosofía se basa en la razón, y suele recurrir a la lógica (que es una rama de la filosofía, pero también una ciencia formal, como la matemática), para someter a prueba sus proposiciones, argumentos, etc. La filosofía también puede apoyarse en los datos aportados por la ciencia y tratar de producir conocimiento contrastable (filosofía científica). Problemas como el criterio de demarcación entre ciencia y pseudociencia son tratados por la filosofía, o las teorías sobre los fundamentos de los criterios de verdad que utilizamos (también en ciencia) (coherentismo, correspondentismo, consensualismo, etc.). De hecho, la ciencia no puede justificarse a sí misma, porque no puede validar el método científico apelando al método científico. Las cuestiones sobre el método científico se abordan de forma metacientífica: desde la filosofía de la ciencia, la epistemología, etc.

    • No ha entendido bien el párrafo de mi artículo que cita. Jamás he dicho, ni diré, que la filosofía sea una seudo-ciencia. Eso sería cientificismo: afirmar que la ciencia es la única fuente válida del conocimiento humano.

      Lo único que dice el párrafo en cuestión es que algunas teorías filosóficas son falsas y fáciles de refutar, otras falsas y difíciles de refutar, y otras verdaderas o al menos más verdaderas que otras (lo que equivale a decir que ninguna teoría filosófica contiene la verdad absoluta y completa).

      No creo que nadie pueda poner en duda estas afirmaciones. Me parece que usted está tratando de atribuirme cosas que no he dicho en ningún sitio, pero que usted imagina que yo estaba pensando. Ese tipo de críticas es muy peligroso. Si quiere criticarme, limítese a discutir mis palabras, y no lo que usted supone que yo estaba pensando, pero no dije.

      • Jose Luis dice:

        Discúlpeme si no está de acuerdo en que nos tuteemos. No intento atribuirle nada, y de hecho, agradezco su aclaración. Simplemente, me parecía que había un tono peyorativo implícito respecto a la filosofía. Aclarado que no es así suscribo mi acuerdo con usted.

        No era mi intención molestarle, y de hecho, sí me he limitado a discutir sus palabras, por eso precisamente le citaba de forma literal.

        Aunque puedo entender en qué sentido lo dice, yo no creo que la crítica sea peligrosa, sino muy necesaria y enriquecedora.

        • Ah, perdón, no me fijé en que me tuteabas. Lo que dije de que ciertas críticas son peligrosas no se aplica a toda crítica, por supuesto. Sólo a aquellas críticas que no se basan en lo que dice el autor a quien se critica, sino en lo que el que critica cree que piensa el autor, más allá de lo que dice. Si son peligrosas, es porque hay muchas posibilidades de equivocarse.

          • Jose Luis dice:

            La verdad es que a mí no me importa asumir el riesgo a equivocarme, si con ello consigo una aclaración, aclararme. Lo contrario sería ego.

            La verdad es que el párrafo que cité, sin un desarrollo más amplio, me sonaba a las críticas que cierto positivismo ingenuo lanza a la filosofía, respecto a la imposibilidad de refutar algunas de sus teorías o planteamientos mediante falsación empírica de sus proposiciones u otros procedimientos demostrativos por parte de la lógica o las matemáticas. En cualquier caso, tampoco te atribuí tajantemente dichas posturas, y por eso decía “quizá” o “a lo mejor me equivoco”.

            Aclarado el asunto me doy por satisfecho y celebro el acuerdo. Seguiré tu blog con interés.

            Saludos.

 

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